Harmonik Fonksiyon Nedir

Harmonik Fonksiyonlar, Harmonik Fonksiyon Nedir

Harmonik fonksiyon, herhangi bir nokta­daki değeri, bu noktanın çevresindeki her­hangi bir çember üzerindeki değerlerinin aritmetik ortalamasına eşit olan iki değiş­kenli matematiksel fonksiyon (fonksiyonun bu çemberin içinde tanımlı olması koşuluy­la). Bu ortalama içinde sonsuz sayıda nokta bulunduğu için, fonksiyon, sonsuz bir topla­mı ifade eden integral yardımıyla bulunur. Fizikte harmonik fonksiyonlar, bir bölgede, örneğin sıcaklığın ya da elektrik yük dağılı­mının bölgenin her noktasında sabit bir değerde kalmasına karşılık gelen denge koşullarını tanımlar.

Harmonik fonksiyonlar, Laplace denklemini sağlayan fonksiyonlar olarak da tanımlanabilir. Bir harmonik fonksiyonun belirlediği yüzeyin dışbükeyliği sıfırdır; bu nedenle de bu fonksiyonların, tanımlandık­ları bölge içinde maksimum ya da minimum değer almamak gibi önemli bir özelliği vardır. Harmonik fonksiyonlar analitiktir; bir başka deyişle bütün türevleri vardır ve sonsuz sayıda terim içeren ve kuvvet serisi olarak adlandırılan polinomlarla ifade edi­lebilirler.

Üç boyutlu uzaydaki kütle çekimi ve elek­trik alanlarının, ayrıca magnetik alanların ya da bazı akışkan akışı türlerinde oluşan alanların incelenmesinde küresel koordinat sistemi (uzaydaki bir noktanın konumunun, koordinat merkezinden uzaklığıyla [rl ve astronomide olduğu gibi yükseklik ;’/] ve açıklık [<p açılarıyla belirlendiği koordinat sistemi) kullanıldığında küresel harmonik fonksiyonlar ortaya çıkar.

İki tür küresel harmonik vardır:

1) Katı küresel harmonikler, R_n(x,y,z), bir kürenin içindeki bütün noktalar için bir değeri bulunan «’inci dereceden özel polinomlardır;

2)yüzey küresel harmonikler,S„(ti, ip), yalnızca küre yüzeyinde bir fonksiyon ta­nımlar.

Bu iki harmonik türü arasında R„(x,y,z)=r”S„( 8,tp) bağıntısı vardır. Ku­ramda zor olan, yüzey küresel harmoniklerin belirlenmesidir. Bu harmonik, iki fonk­siyonun çarpımı biçiminde yazılabilir; bun­lardan biri e±imtp fonksiyonudur,buradan, sıfır ya da pozitif bir sayıdır. İkinci fonksi­yon ise daha karmaşık bir fonksiyondur ve yalnızca 0 ‘ya bağımlıdır. Yalnızca d ‘ya bağımlı olan kısım “yardımcı Legendre denk­lemi” olarak bilinen diferansiyel denklemin çözümüdür ve “yardımcı Legendre fonksi­yonu” olarak adlandırılır.

Laplace denkleminin her çözümü (sonsuz sayıda olabilen) katı küresel harmoniklerin toplamı biçiminde yazılabilir.